Question

5．已知圓A：x²+y²+2x-15=0，過點B（1，0）作直線l（與x軸不重合）交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E．
（Ⅰ） 求點E的軌跡方程；
（Ⅱ）動點M在曲線E上，動點N在直線$l：y=2\sqrt{3}$上，若OM⊥ON，求證：原點O到直線MN的距離是定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意畫出圖形，利用平面幾何知識可得|EA|+|EB|=4，再由橢圓定義得點E的軌跡方程；
（Ⅱ）若直線ON的斜率不存在，可得|ON|=2$\sqrt{3}$，|OM|=2，|MN|=4，利用三角形面積相等可得原點O到直線MN的距離d=$\sqrt{3}$．若直線ON的斜率存在，設直線OM的方程為y=kx，代入橢圓方程，求得M坐標，直線ON的方程為y=$-\frac{1}{k}x$，代入y=$2\sqrt{3}$求得N的坐標．利用勾股定理求得|MN|²，再由三角形面積相等可得原點O到直線MN的距離d=$\sqrt{3}$．

解答 （Ⅰ）解：∵|AD|=|AC|，EB∥AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC，∴|EB|=|ED|，
故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|．
又圓A的標準方程為（x+1）²+y²=16，從而|AD|=4，
∴|EA|+|EB|=4，
由題設得A（-1，0），B（1，0），|AB|=2，
由橢圓的定義可得點E的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）證明：①若直線ON的斜率不存在，|ON|=2$\sqrt{3}$，|OM|=2，|MN|=4，
原點O到直線MN的距離d=$\frac{|OM|•|ON|}{|MN|}=\sqrt{3}$．
②若直線ON的斜率存在，設直線OM的方程為y=kx，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，得${x}^{2}=\frac{12}{3+4{k}^{2}}$，${y}^{2}=\frac{12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
直線ON的方程為y=$-\frac{1}{k}x$，代入y=$2\sqrt{3}$，得N（$-2\sqrt{3}k，2\sqrt{3}$）．
由題意知|MN|²=|ON|²+|OM|²=$（-2\sqrt{3}k）^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}+\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{48（1+{k}^{2}）^{2}}{3+4{k}^{2}}$．
設原點O到直線MN的距離為d，由題意知|MN|•d=|OM|•|ON|，
得$p9vv5xb5^{2}=\frac{|OM{|}^{2}•|ON{|}^{2}}{|MN{|}^{2}}=3$，則d=$\sqrt{3}$．
綜上所述，原點O到直線MN的距離為定值$\sqrt{3}$．

點評 本題考查曲線方程的求法，考查直線與橢圓位置關系的應用，考查計算能力，屬中檔題．