Question

已知函數f(x)=

3

sin2x+cos2x-m在[0，

π

2

]上有兩個零點，則m的取值范圍是（　　）

A．（1，2）

B．[1，2）

C．（1，2]

D．[l，2]

Answer 1

分析：由題意可得函數g(x)=

3

sin2x+cos2x 與直線y=m在[0，

π

2

]上兩個交點，數形結合可得m的取值范圍．

解答：解：由題意可得函數g(x)=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

） 與直線y=m在[0，

π

2

]上兩個交點．
由于x∈[0，

π

2

]，故2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，故g（x）∈[-1，2]．
令2x+

π

6

=t，則t∈[

π

6

，

7π

6

]，函數y=h（t）=2sint 與直線y=m在[

π

6

，

7π

6

]上有兩個交點，如圖：
要使的兩個函數圖形有兩個交點必須使得1≤m＜2，
故選B．

點評：本題主要考查方程根的存在性及個數判斷，兩角和差的正弦公式，體現了轉化與數形結合的數學思想，屬于中檔題．