Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）若在區間存在一個，使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2).

【解析】

(1)求出的導數，令，分、、三種情況討論導數的符號從而確定的單調區間；(2) 由整理得，令，設函數的零點為可得，分析的單調性從而求出最小值，根據不等式成立的充要條件即可求得a的取值范圍.

(1)，

令，，

①若即，

則二次函數開口向下且與軸無交點，

當時，即，

函數在上單調遞減；

②若即，

當時，開口向下且對稱軸為，

當時，即，

函數在上單調遞減；

當時，開口向下且對稱軸為，

當時，即，

函數在上單調遞減；

③若即或，

方程的根為，

當時，因為開口向下，

，

所以當時，即，函數單調遞減；

當時，因為，

所以當，時，

即，函數單調遞減；

當時，

即，函數單調遞增；

綜上所述，當時，在上單調遞減；

當時，在區間上單調遞增，

在區間，上單調遞減.

(2)根據題意，若，

則，

化簡得，令，

，令可得即，

設函數的零點為，則，

由在單調遞增，

所以時，，單調遞減；

時，，單調遞增，

，

所以.