Question

【題目】某倉庫為了保持庫內的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動通風設施．該設施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等邊三角形，固定點E為AB的中點．△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗（陰影部分均不通風），MN是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和AB平行的伸縮橫桿．

（1）設MN與AB之間的距離為x米，試將△EMN的面積S（平方米）表示成關于x的函數；
（2）求△EMN的面積S（平方米）的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：①如圖1所示，當MN在矩形區域滑動，即0＜x≤1時，△EMN的面積S= =x；

②如圖2所示，當MN在三角形區域滑動，即1＜x＜ 時，連接EG，交CD于點F，交MN于點H，

∵E為AB中點，

∴F為CD中點，GF⊥CD，且FG= ．

又∵MN∥CD，∴△MNG∽△DCG．

∴ ，即 ．

故△EMN的面積S= = ；

綜合可得：

（2）解：①當MN在矩形區域滑動時，S=x，所以有0＜S≤1；

②當MN在三角形區域滑動時，S= ．

因而，當 （米）時，S得到最大值，最大值S= （平方米）．

∵ ，

∴S有最大值，最大值為 平方米

【解析】（1）分類求出MN在矩形區域、三角形區域滑動時，△EMN的面積，可得分段函數；（2）分類求出△EMN的面積的最值，比較其大小，即可得到最值．