Question

如圖，將正分割成16個全等的小正三角形，在每個三角形的頂點各放置一個數，使位于同一直線上的點放置的數（當數的個數不少于3時）都分別依次成等差數列，若頂點處的三個數互不相同且和為1，則所有頂點的數之和　　　　　　．

Answer 1

5

試題分析：根據等差中項法分別求解n=2，3，4時的值，由此歸納出f（n）的值即可．解：由題意可得，（各點放的數用該點的坐標表示）當n=2時，根據等差數列的性質可得，A+B=2D，A+C=2E，B+C=2F，且A+B+C=1，2（D+E+F）=2（A+B+C）=2，D+E+F=1，∴f（2）=2= ，當n=3時，根據等差數列的性質可得，A+B=D+E，A+C=I+H，B+C=F+G，且A+B+C=1，從而可得D+E+H+I+F+F=2（A+B+C）=2，同樣根據等差中項可得，M的數為 ，所以 ，依次可知結論為，那么可知頂點處的三個數互不相同且和為1，則n=5時，所有頂點的數之和5，故答案為5.
點評：本題目主要考查了數列的通項公式的求解在實際問題中的應用，解題的關鍵是靈活利用等差中項，進行求解．考查了考試發現問題、解決問題的能力．