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定義在實數集上的函數f(x)，對任意x、y∈R，有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)，且f(0)≠0．

(1)求證：f(0)＝1；

(2)求證：y＝f(x)是偶函數．

答案：
解析：

　　證明：(1)令x＝y＝0，則有2f(0)＝2[f(0)]2．

　　∵f(0)≠0，∴f(0)＝1．

　　(2)令x＝0，則有

　　f(y)＋f(－y)＝2f(0)·f(y)＝2f(y)，

　　∴f(－y)＝f(y)，這說明f(x)為偶函數．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

定義在實數集上的函數f（x），如果存在函數g（x）=Ax+B（A，B為常數），使得f（x）≥g（x）對于一切實數都成立，那么稱g（x）為函數f（x）的一個承托函數．給出如下命題：
①對給定的函數f（x），其承托函數可能不存在，也可能有無數個；
②定義域和值域都是R的函數f（x）不存在承托函數；
③g（x）=2x為函數f（x）=ex的一個承托函數；
④g（x）=
1
2
x為函數f（x）=x2的一個承托函數．
其中，正確的命題個數是（　　）
A、0B、1C、2D、3

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在實數集上的函數fn(x)=xn，（x∈N*），其導函數記為fn′（x），且滿足fn′[ax1+(1-a)x2]  =
f2(x2)-f2(x1) x2-x1
，其中a，x1，x2為常數，x1≠x2．設函數g（x）=f1（x）+mf2（x）-lnf3（x），（m∈R且m≠0）．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）若函數g（x）無極值點，其導函數g′（x）有零點，求m的值；
（Ⅲ）求函數g（x）在x∈[0，a]的圖象上任一點處的切線斜率k的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在實數集上的函數f（x）滿足xf（x）為偶函數，f（x+2）=-f（x），（x∈R） 且當1≤x≤3時，f（x）=（2-x）3．
（1）求-1≤x≤0時，函數f（x）的解析式．
（2）求f（2008）、f（2008.5）的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在實數集上的函數f（x）滿足f（x+1）=
x
2
+2，則f-1（x+1）的表達式是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在實數集上的函數y=f（x）滿足：
（1）對任意的x，y∈R，f（x+y）=2f（x）•f（y），（2）f(0)=
12
．
請寫出滿足上述條件（1）和（2）的一個函數
f（x）=2x-1或2-x-1
f（x）=2x-1或2-x-1
（寫出一個即可）

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