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若f(x)=x3+3x,g(x)=x2-1,(1)求f(x)的單調遞增區間;(2)若f(x)+mg(x)在(1,+∞)上單調遞增,求m的取值范圍.
【答案】分析:(1)先由f(x)=x3+3x,求導,再由f′(x)=3x2+3≥0,求得增區間.
(2)先構造出h(x)=f(x)+mg(x)=x3+mx2+3x-m,再求導h′(x)=3x2+2mx+3,再由“f(x)+mg(x)在(1,+∞)上單調遞增”,轉化為h′(x)=3x2+2mx+3≥0在(1,+∞)上恒成立,進而轉化為m≥在(1,+∞)上恒成立求解.
解答:解:(1)∵f(x)=x3+3x,
∴f′(x)=3x2+3
∴f′(x)=3x2+3≥0
∴f(x)的單調遞增區間是(-∞,+∞)
(2)h(x)=f(x)+mg(x)=x3+mx2+3x-m
∴h′(x)=3x2+2mx+3
∵f(x)+mg(x)在(1,+∞)上單調遞增
∴h′(x)=3x2+2mx+3≥0在(1,+∞)上恒成立
∴m≥在(1,+∞)上恒成立

∴m≥-3
點評:本題主要考查用導數法研究函數的單調性,基本思路是:當函數為增函數時,導數大于等于零;當函數為減函數時,導數小于等于零,已知函數單調性求參數的范圍,往往轉化為求相應函數的最值問題.
練習冊系列答案
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