Question

過點P（1，2）引直線，使A（2，3）、B（4，-5）到它的距離相等，則此直線方程為（　�。�

A．4x+y-11=0

B．x+4y-6=0

C．4x+y-11=0或3x+2y-7=0

D．4x+y-6=0或3x+2y-7=0

Answer 1

分析：（法一）當(dāng)所求的直線與AB平行時，斜率可求，用點斜式求出直線方程，當(dāng)所求的直線過AB的中點時，由兩點式求出直線的方程．
（法二）設(shè)直線方程為k（x-1）-y+2=0即kx-y+2-k=0，由A（2，3），B（4，-5）到直線的距離相等，可得

|2k-3+2-k|

1+k2

=

|4k+5+2-k|

1+k2

，可求k，進(jìn)而可求直線方程

解答：解：由題意可得所求的直線與AB平行，或所求的直線過AB的中點．
當(dāng)所求的直線與AB平行時，斜率為k=

3+5

2-4

=-4，故方程為 y-2=-4（x-1），化簡可得4x+y-6=0．
當(dāng)所求的直線過AB的中點（3，-1）時，由兩點式求出直線的方程為

y+1

2+1

=

x-3

1-3

，即 3x+2y-7=0．
（法二）設(shè)直線方程為k（x-1）-y+2=0即kx-y+2-k=0
因為A（2，3），B（4，-5）到直線的距離相等，
所以

|2k-3+2-k|

1+k2

=

|4k+5+2-k|

1+k2

||k-1|=|3k+7|
k-1=3k+7 或k-1=-（3k+7）
所以 k=-4 或k=-

3

2

所以所求的直線方程為：y-2=-4（x-1）或y-2=-

3

2

（x-1）
即4x+y-6=0 或3x+2y-7=0
故選D

點評：本題考查用點斜式、兩點式求直線方程的方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，判斷所求的直線與AB平行，或所求的直線過AB的中點，是解題的關(guān)鍵．