Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)左右兩焦點為F₁，F₂，P是右支上一點，PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁于H，OH=λOF1，λ∈[

1

9

，

1

2

]．
（1）當λ=

1

3

時，求雙曲線的漸近線方程；
（2）求雙曲線的離心率e的取值范圍；
（3）當e取最大值時，過F₁，F₂，P的圓的截y軸的線段長為8，求該圓的方程．

Answer 1

分析：（1）由相似三角形得到比例式，找出a、b的關系，把λ值代入求

b

a

的值，進而得到雙曲線的漸近線方程；
（2）用λ表示離心率的平方，據λ的范圍求出離心率平方得最值，可得離心率的范圍，
（3）確定圓心位置及直徑，進而得到半徑，寫出圓的標準方程．

解答：解：由相似三角形知，

OH

PF2

=

OF1

PF1

，λ=

b2 a

2a+ b2 a

，
∴2a²λ+b²λ=b²，2a²λ=b²（1-λ），

b2

a2

=

2λ

1-λ

．
（1）當λ=

1

3

時，

b2

a2

=1，∴a=b，y=±x．
（2）e2=

c2

a2

=1+

b2

a2

=1+

2λ

1-λ

=1+

2[1-(1-λ)]

1-λ

=

2

1-λ

-1=-1-

2

λ-1

，在[

1

9

，

1

2

]上單調遞增函數．
∴λ=

1

2

時，e²最大3，λ=

1

9

時，e²最小

5

4

，
∴

5

4

≤e2≤3，∴

5

2

≤e≤

3

．
（3）當e=

3

時，

c

a

=

3

，∴b² =2a²．
∵PF₂⊥F₁F₂，∴PF₁是圓的直徑，圓心是PF₁的中點．再由弦的性質可得圓心還在線段F₁F₂的中垂線（y軸）上，
∴在y軸上截得的弦長就是直徑，∴PF₁=8．
又PF1=2a+

b2

a

=2a+

2a2

a

=4a，∴4a=8，a=2，c=2

3

，b=2

2

．
∴PF2=

b2

a

=2a=4，故圓心C（0，2），半徑為4，
故所求的圓的方程為 x²+（y-2）²=16．

點評：本題考查圓的標準方程、雙曲線的性質、直線和圓錐曲線的關系，屬于中檔題．