Question

已知向量

a

=（cosθ，sinθ）和b=(

2

-sinθ，cosθ)．
（1）若

a

∥

b

，求角θ的集合；
（2）若θ∈(

5π

4

，

13π

4

)，且|

a

-

b

|=

3

，求cos(

θ

2

-

π

8

)的值．

Answer 1

分析：（1）由題意和共線向量的等價條件，列出關于角θ的方程，求出θ的一個三角函數值，再根據三角函數求出角θ的集合．
（2）由題意先求出

a

-

b

的坐標，根據此向量的長度和向量長度的坐標表示，列出方程求出
cos（θ-

π

4

），由余弦的二倍角公式和θ的范圍求出cos(

θ

2

-

π

8

)的值．

解答：解：（1）由題意知

a

∥

b

，則cosθ×cosθ-sinθ×（

2

-sinθ）=0，
∴

2

sinθ=1，sinθ=

2

2

，
∴角θ的集合={θ|θ=

π

4

+2kπ或θ=

3π

4

+2kπ，k∈Z}；
（2）由題意得，

a

-

b

=（cosθ-

2

+sinθ，sinθ-cosθ），
∴|

a

-

b

|=

(cosθ+sinθ- 2 )2+(sinθ-cosθ)2

=

4-2 2 (cosθ+sinθ)

=2

1-cos(θ- π 4 )

=

3

，
即cos（θ-

π

4

）=

1

4

，由余弦的二倍角公式得，[cos(

θ

2

-

π

8

)] 2=

cos(θ- π 4 )+1

2

  ①，
∵θ∈(

5π

4

，

13π

4

)，∴

5π

8

＜

θ

2

＜

13π

8

，
∴

π

2

＜

θ

2

-

π

8

＜

3π

2

，即cos（

θ

2

-

π

8

）＜0，
∴由①得cos（

θ

2

-

π

8

）=-

10

4

．

點評：本題考查了共線向量的坐標表示和向量長度的坐標表示，利用兩角正弦（余弦）和差公式和二倍角公式進行變形求解，注意由已知條件求出所求角的范圍，來確定所求三角函數值的符號．