Question

已知函數f（x）=-

1

3

ax³+x²+2（a≠0）．
（Ⅰ） 試討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ） 若a＞0，求函數f（x）在[1，2]上的最大值．．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知f（x）的解析式，利用導數研究其單調性，對a進行討論，從而進行求解；
（Ⅱ）已知a＞0，要求函數f（x）在[1，2]上的最大值，對

2

a

與1的大小進行討論，根據（Ⅰ）的單調區間進行求解；

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=-

1

3

ax³+x²+2（a≠0），
∴f′（x）=-ax²+2x．
①當a＞0時，令f′（x）＞0，即-ax²+2x＞0，得0＜x＜

2

a

．
∴f（x）在（-∞，0），（

2

a

，+∞）上是減函數，在（0，

2

a

）上是增函數．
②當a＜0時，令f′（x）＞0，即-ax²+2x＞0，得x＞0，或x＜

2

a

．
∴f（x）在（-∞，

2

a

），（0，+∞）上是增函數，在（

2

a

，0）上是減函數．
（2）由（Ⅱ）得：
①當0＜

2

a

＜1，即a＞2時，f（x）在（1，2）上是減函數，
∴f（x）_max=f（1）=3-

1

3

a
②當1≤

2

a

≤2，即1≤a≤2時，f（x）在（1，

2

a

）上是增函數，在（

2

a

，2）上是減函數，
∴f（x）_max=f（

2

a

）=2+

4

3a2

．
③當

2

a

＞2時，即0＜a＜1時，f（x）在（1，2）上是增函數，
∴f（x）_max=f（2）=6-

8a

3

．
綜上所述，當0＜a＜1時，f（x）的最大值為3-

1

3

a，
當1≤a≤2時，f（x）的最大值為2+

4

3a2

，
當a＞2時，f（x）的最大值為6-

8a

3

．

點評：本題考查了利用導數求閉區間上函數的最值，求函數在區間（a，b）上的最大值與最小值是通過比較函數在（a，b）內所有極值，此題還利用了分類討論的思想，難度中等；