Question

如圖，C、D是以AB為直徑的圓上兩點，AB=2AD=2

3

，AC=BC，F是AB上一點，且AF=

1

3

AB，將圓沿直徑AB折起，使點C在平面ABD的射影E在BD上，已知CE=

2

．
（1）求證：AD⊥平面BCE；
（2）求證：AD∥平面CEF；
（3）求三棱錐A-CFD的體積．

Answer 1

分析：（1）可先證明AD與兩相交直線CE，BD垂直，利用線面垂直的判定定理證明線面垂直
（2）在圖形中取BD中點E，連接EF，可得出EF∥AD，再由線面平行的判定定理即可證明AD∥平面CEF；
（3）由題設條件知CE即是此棱錐的高，故求出底面三角形AFD的面積即可，此需要先求出F到AD的距離，易求．

解答：（1）證明：依題意：AD⊥BD
∵CE⊥平面ABD∴CE⊥AD
∵BD∩CE=E，∴AD⊥平面BCE．
（2）證明：Rt△BCE中，CE=

2

，BC=

6

∴BE=2（5分）Rt△ABD中，AB=2

3

，AD=

3

∴BD=3．（6分）
∴

BF

BA

=

BE

BD

=

2

3

．
∴AD∥EF∵AD在平面CEF外
∴AD∥平面CEF．
（3）解：由（2）知AD∥EF，AD⊥ED，且ED=BD-BE=1
∴F到AD的距離等于E到AD的距離，為1．
∴S△FAD=

1

2

•

3

•1=

3

2

．
∵CE⊥平面ABD
∴VA-CFD=VC-AFD=

1

3

•S△FAD•CE=

1

3

•

3

2

•

2

=

6

6

．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，求棱錐的體積，求解本題的關鍵是創造出線面垂直、線面平行的條件，熟知相關的定理是求解這一類題的保證．代數多做題，幾何背定理，道出了學習幾何的方法．