Question

設函數f(x)=2cos2x+

3

sin2x
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間
（2）當x∈[0，

π

3

]時，求f(x)的最大值．

Answer 1

分析：（1）由二倍角的余弦公式和輔助角公式，化簡得2sin（2x+

π

6

）+1，再結合正弦函數單調區間的公式和周期公式，即可得到f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（2）根據題意，得到2x+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，再結合正弦函數圖象在區間[

π

6

，

5π

6

]上的單調性，即可得到f（x）在區間[0，

π

3

]上的最大值．

解答：解：（1）∵cos²x=

1

2

（cos2x+1），
∴f(x)=2cos2x+

3

sin2x=cos2x+

3

sin2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1…．（2分）
因此，函數f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π…．（4分）
令

2kπ- π 2 ≤2x+ π 6 ≤2kπ+ π 2

，解得

kπ- π 3 ≤x≤kπ+ π 6

，（k∈Z）
∴函數的單調遞增區間是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)…（6分）
（2）當x∈[0，

π

3

]時，即2x+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]
由此可得當2x+

π

6

=

π

2

時，[f（x）]_max=2+1=3
∴x=

π

6

時，f（x）的最大值為3…（12分）

點評：本題給出三角函數式，求函數的單調區間和周期并求在閉區間上的最值，著重考查了三角恒等變換和三角函數的圖象與性質等知識，屬于基礎題．