Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x），當x∈[0，2]時，f(x)=(

1

2

)|x-m|．
（1）求m的值；
（2）設函數(shù)g（x）=log₂x，判斷函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）零點的個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）令x=0得f（0）=f（2），代入函數(shù)解析式求出m的值；
（2）根據(jù)條件求出函數(shù)f（x）的周期為2，在同一個坐標系中，做出函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的圖象，根據(jù)兩個圖象的交點個數(shù)，判斷出函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）零點的個數(shù)．

解答：解：（1）令x=0代入f（x+2）=f（x），得f（0）=f（2），
即(

1

2

)|m|=(

1

2

)|2-m|，解得m=1；
（2）由（1）知，f(x)=(

1

2

)|x-1|，
∵f（x+2）=f（x），∴函數(shù)f（x）的周期為2，
下面在同一個坐標系中，做出函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的圖象，

有圖知，函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的圖象的交點個數(shù)只有一個，
故函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）零點的個數(shù)為1個．

點評：本題主要考查了函數(shù)的零點與函數(shù)圖象交點個數(shù)之間的轉化，以及數(shù)形結合思想和作圖能力．