【題目】已知函數(shù)
.
（1）若
，判斷函數(shù)
的單調(diào)性；
（2）討論函數(shù)的極值，并說明理由.
【答案】(1) 
在
上遞增. (2)見解析
【解析】
(1)將k=1代入表達(dá)式，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，通過判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到原函數(shù)的單調(diào)性；（2）對(duì)導(dǎo)函數(shù)
繼續(xù)求導(dǎo)，研究的單調(diào)性以及零點(diǎn)情況進(jìn)而得到原函數(shù)的極值點(diǎn)的情況.
（1）當(dāng)
時(shí)，
，
，
設(shè)
，
則
，當(dāng)
時(shí)，
，
遞減，
當(dāng)
時(shí)，
，
遞增，則
，即
，所以在上遞增.
（2）
，
，
設(shè)
，
，
當(dāng)時(shí)，
，
遞減；當(dāng)時(shí)，
，遞增；
則
；
若
，即
時(shí)，
恒成立，即，則在遞增；
若
，即
時(shí)，
，
一方面：
，而
，即
，
由零點(diǎn)存在定理知在
上有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為
；
另一方面：
，設(shè)
，（），
，
則
在
遞增，則
，即
，
由零點(diǎn)存在定理知在
有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為
；
于是，當(dāng)
時(shí)，
，遞增；
當(dāng)
時(shí)，
，遞減；
當(dāng)
時(shí)，，遞增；故此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).
小博士期末闖關(guān)100分系列答案
名校名師培優(yōu)作業(yè)本加核心試卷系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】科研人員在對(duì)人體脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中，獲得了一些年齡和脂肪含量的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)，如下表：
根據(jù)上表的數(shù)據(jù)得到如下的散點(diǎn)圖．
(1)根據(jù)上表中的樣本數(shù)據(jù)及其散點(diǎn)圖：
(i)求
;
(ii)計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并刻畫它們的相關(guān)程度．
(2)若y關(guān)于x的線性回歸方程為
，求
的值（精確到0.01），并根據(jù)回歸方程估計(jì)年齡為50歲時(shí)人體的脂肪含量。
附：參考數(shù)據(jù)：
參考公式：相關(guān)系數(shù)
回歸方程
中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，弦
過橢圓的中心O，點(diǎn)C在第一象限，且
，
.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)P、Q為橢圓上不重合的兩點(diǎn)且異于A、B，若
的平分線總是垂直于x軸，問是否存在實(shí)數(shù)
，使得
？若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，求的最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】給出下列四個(gè)說法，其中正確的是（ ）
A.命題“若
，則
”的否命題是“若，則
”
B.“
”是“雙曲線
的離心率大于
”的充要條件
C.命題“
，
”的否定是“，
”
D.命題“在
中，若
，則是銳角三角形”的逆否命題是假命題
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為了解某班學(xué)生喜好體育運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，對(duì)本班60人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表：
喜好體育運(yùn)動(dòng) | 不喜好體育運(yùn)動(dòng) | 合計(jì) | |
男生 | 5 | ||
女生 | 10 | ||
合計(jì) | 60 |
已知按喜好體育運(yùn)動(dòng)與否，采用分層抽樣法抽取容量為12的樣本，則抽到喜好體育運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為7.
（1）請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；
（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為喜好體育運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)？說明你的理由；
下面的臨界值表供參考：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（參考公式：
，其中
）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的兩個(gè)焦點(diǎn)
，
與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，且直線
與圓
相切.
（1）求橢圓
的方程；
（2）已知過橢圓
的左頂點(diǎn)
的兩條直線
，
分別交橢圓于
，
兩點(diǎn)，且
，求證：直線
過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下求
面積的最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知四棱錐
中，
底面
，
，
，
，
.
（1）當(dāng)
變化時(shí)，點(diǎn)
到平面
的距離是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由；
（2）當(dāng)直線
與平面所成的角為45°時(shí)，求二面角
的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】若無窮數(shù)列
滿足:對(duì)任意兩個(gè)正整數(shù)
,
與
至少有一個(gè)成立,則稱這個(gè)數(shù)列為“和諧數(shù)列”.
(Ⅰ)求證:若數(shù)列
為等差數(shù)列,則為“和諧數(shù)列”;
(Ⅱ)求證:若數(shù)列為“和諧數(shù)列”,則數(shù)列從第
項(xiàng)起為等差數(shù)列;
(Ⅲ)若是各項(xiàng)均為整數(shù)的“和諧數(shù)列”,滿足
,且存在
使得
，
,求p的所有可能值.
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