Question

【題目】已知橢圓是長軸的一個端點，弦過橢圓的中心O，點C在第一象限，且，.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設P、Q為橢圓上不重合的兩點且異于A、B，若的平分線總是垂直于x軸，問是否存在實數(shù)，使得？若不存在，請說明理由；若存在，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，的最大值為

【解析】

(1)將化簡可得出是等腰直角三角形，然后可得出點坐標，帶入橢圓方程即可求出

(2)首先由的平分線總是垂直于x軸可得出，然后設出的直線方程，聯(lián)立消元可求出和，然后可算出，進而可表示出并求出的最大值，也就可以得出的最大值.

（1）∵，∴，

∵，即，

∴是等腰直角三角形，

∵，，

而點C在橢圓上，∴，∴，

∴所求橢圓方程為.

（2）對于橢圓上兩點P，Q，

∵的平分線總是垂直于x軸，

∴與所在直線關于對稱，

，則，

∵，∴的直線方程為，①

的直線方程為，②

將①代入，得，③

∵在橢圓上，∴是方程③的一個根，

∴，

以替換k，得到.

∴，

∵，弦過橢圓的中心O，

∴，∴，

∴，∴，

∴存實數(shù)，使得，

，

當時，即時取等號，

，

又，，

∴的最大值為.