Question

2．電視臺與某廣告公司簽約播放兩部影片集，其中影片集甲每集播放時間為19分鐘（不含廣告時間，下同），廣告時間為1分鐘，收視觀眾為60萬；影片集乙每集播放時間為7分鐘，廣告時間為1分鐘，收視觀眾為20萬，廣告公司規定每周至少有7分鐘廣告，而電視臺每周只能為該公司提供不多于80分鐘的節目時間（含廣告時間）．
（Ⅰ）問電視臺每周應播放兩部影片集各多少集，才能使收視觀眾最多；
（Ⅱ）在獲得最多收視觀眾的情況下，影片集甲、乙每集可分別給廣告公司帶來a和b（萬元）的效益，若廣告公司本周共獲得3萬元的效益，記S=$\frac{16}{a}$+$\frac{10}{b}$為效益調和指數（單位：萬元），求效益調和指數的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設片集甲乙分別播放x，y集，由條件可得不等式組和目標函數，作出可行域，求得最優解；
（Ⅱ）由題意得：2a+5b=3，則S=$\frac{16}{a}$+$\frac{10}{b}$=$\frac{1}{3}$（2a+5b）（$\frac{16}{a}$+$\frac{10}{b}$）=$\frac{1}{3}$（82+$\frac{20a}{b}$+$\frac{80b}{a}$），運用基本不等式即可得到最小值．

解答 解：（Ⅰ）設片集甲乙分別播放x，y集，
由題意得到，$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥7}\\{20x+8y≤80}\\{x，y∈N}\end{array}\right.$，
要使收視觀眾最多，
只要z=60x+20y最大即可，作出可行域，如圖：
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=7}\\{20x+8y=80}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=5}\end{array}\right.$，所以滿足題意的最優解為（2，5），
z_max=60×2+20×5=220，
故電視臺每周片集甲播出2集，片集乙每周播出5集，其收視觀眾最多；
（Ⅱ）由題意得：2a+5b=3，
則S=$\frac{16}{a}$+$\frac{10}{b}$=$\frac{1}{3}$（2a+5b）（$\frac{16}{a}$+$\frac{10}{b}$）=$\frac{1}{3}$（82+$\frac{20a}{b}$+$\frac{80b}{a}$）
≥$\frac{1}{3}$（82+2$\sqrt{\frac{20a}{b}•\frac{80b}{a}}$）=54，
當且僅當a=$\frac{2}{3}$，b=$\frac{1}{3}$時取等號，所以效益調和指數的最小值為54萬元．

點評 本題主要考查了用平面區域二元一次不等式組，考查基本不等式的運用，以及簡單的轉化思想和數形結合的思想，屬中檔題．