Question

【題目】已知函數(shù)，其中

（1）當(dāng)時(shí)，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；

（3）若對任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）（3）

【解析】

（1）將代入解析式，即可根據(jù)絕對值函數(shù)的圖像與性質(zhì)判斷出單調(diào)區(qū)間.

（2）根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，可知必有，即可解得的值，再代入檢驗(yàn)即可.

（3）將解析式代入化簡不等式，討論與兩種情況.再當(dāng)時(shí)，對分類討論，結(jié)合不等式恒成立的條件即可求得的取值范圍.

（1）函數(shù)，

將代入可得，

由絕對值函數(shù)圖像可知，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，

所以單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

（2）函數(shù)為偶函數(shù)，

則滿足，

即，

所以，

解得，

將代入解析式可得，符合題意，

（3）對任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，

則對任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，

化簡可得，

，當(dāng)時(shí)，，所以恒成立，即此時(shí)，

，當(dāng)時(shí)，不等式可化為，

令，

當(dāng)時(shí)，，，

即有，

即，解不等式可得，

當(dāng)時(shí)，即有，化簡可得，

令，解得 或（舍），

可得，

當(dāng)時(shí)，可得不能恒成立；

當(dāng)時(shí)，，要使得，只需，

即，解得，不合題意舍去，

當(dāng)時(shí)，要使得，只需，

即，解得，不合題意舍去，

綜上可得的取值范圍為