Question

圓M：x²+y²-4x-2y+4=0
（1）若圓M的切線在x軸上的截距是y軸上的截距的2倍，求切線的方程；
（2）從圓外一點P（a，b），向該圓引切線PA，切點為A，且PA=PO，O為坐標原點，求證：以PM為直徑的圓過異于M的定點，并求該定點的坐標

Answer 1

分析：①首先對切線分兩種情況討論，過原點時與不過原點時．然后分別設出直線，根據切線在x軸上的截距是y軸上的截距的2倍建立等式，分別求出切線方程．
②根據PA²=PO²，得到a，b的關系式2a+b=2，然后表示出以PM為直徑的圓方程．通過對該圓的方程的分析，求出其通過的定點即可．

解答：解：（1）當切線過原點時，設切線為y=kx，
由

|2k-1|

1+k2

=1
得k=

4

3

，k=0（舍）
當切線不過原點時，
設切線為

x

2a

+

y

a

=1
即x+2y=2a，
由

|2+2-2a|

5

=1
得2a=4±

5

6′，
所以所求的切線方程為y=

4

3

x，x+2y=4±

5

（2）由條件PA²=PO²，
得（a-2）²+（b-1）²=a²+b²
得2a+b=2
以PM為直徑的圓方程為x²+y²-（2+a）x-（b+1）y+b+2a=0
12′x²+y²-（2+a）x-（3-2a）y+2=0

x-2y=0 x2+y2-2x-3y+2=0

y=1 x=2

y= 2 5 x= 4 5

所以異于M的定點為(

4

5

，

2

5

)

點評：本題考查直線與圓的位置關系-相切，以及當直線與圓相切時的性質．通過兩個小題不同的條件分別分析求解．本題在考查性質的同時也考查了運算能力以及對題目整體的把握．