Question

已知

i

=(1，0)，

j

=(0，1)，

a

=

i

-2

j

，

b

=

i

+m

j

，給出下列說法：
①若

a

與

b

的夾角為銳角，則m＜

1

2

；
②當且僅當m=

1

2

時，

a

與

b

互相垂直；
③

a

與

b

不可能是方向相反的兩個向量；
④若|

a

|=|

b

|，則m=-2．
其中正確的序號是（　　）

A．①②③

B．①②③④

C．②④

D．②③

Answer 1

分析：①由

a

與

b

的夾角為銳角，可得

a

•

b

＞0，且＜

a

，

b

＞≠0，解出即可．
②

a

⊥

b

?

a

•

b

=1-2m=0，解得即可；
③若

a

=-

b

，則（1，-2）=-（1，m）不成立，可知

a

與

b

不可能是方向相反的兩個向量確；
④利用向量模的計算公式|

a

|=|

b

|，可得

1+(-2)2

=

1+m2

，解得m即可．

解答：解：①

a

=(1，-2)，

b

=(1，m)．∵

a

與

b

的夾角為銳角，∴

a

•

b

＞0，且＜

a

，

b

＞≠0，
則m＜

1

2

，且1-2m≠

1+(-2)2

×

1+m2

，m≠-2，故不正確；
②

a

⊥

b

?

a

•

b

=1-2m=0，解得m=

1

2

．故正確；
③若

a

=-

b

，則（1，-2）=-（1，m）不成立，∴

a

與

b

不可能是方向相反的兩個向量，正確；
④∵|

a

|=|

b

|，∴

1+(-2)2

=

1+m2

，解得m=±2，故不正確．
綜上可知：只有②③．
故選D．

點評：熟練掌握向量的數量積運算、模的計算公式、共線定理、向量垂直與數量積的關系等是解題的關鍵．