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15、f（x）是定義域在R上的函數，已知：f（x+y）=f（x）+f（y）對于任意x，y∈R都成立．
（1）求f（0）的值；
（2）求證：判斷f（x）的奇偶性并證明你的結論．
分析：對于抽象函數的求解策略和方法為賦值法，（1）令x=y=0，代入已知條件，即可求得結果；
（2）令y=-x，代入已知條件即可判定函數的奇偶性．
解答：解：（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y）對于任意x，y∈R都成立．
令x=y=0，則f（0）=f（0）+f（0）
解得f（0）=0；
（2）函數f（x）是R上的奇函數．
證明：令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函數f（x）是R上的奇函數．
點評：本題考查抽象函數的有關問題，其中賦值法是常用的方法，考查函數的奇偶性的定義，屬基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

18、已知f（x）是定義域在R上的函數，且有下列三個性質：
①函數圖象的對稱軸是x=1；
②在（-∞，0）上是減函數；
③有最小值是-3；
請寫出上述三個條件都滿足的一個函數
y=（x-1）2-3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若函數f（x）的定義域為R，若存在常數M＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數均成立，則稱f（x）為虛界函數，給出下列函數：
①f（x）=0；
②f（x）=x2；
③f（x）=sinx+cosx；
④f（x）=
xx2+x+1
；
⑤f（x）是定義域在R上的奇函數，且滿足對一切實數均有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|．
其中是虛界函數的序號為
①④⑤
①④⑤
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）是定義域在R上的偶函數，且在區間（-∞，0）上單調遞減，求滿足f（x2+2x+3）＞f（-x2-4x-5）的x的集合．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數y=f（x）是定義域在R，并且滿足f（x+y）=f（x）+f（y），f(
13
)=1，且當x＞0時，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；                
（2）判斷函數的奇偶性；
（3）試判斷函數的單調性，并求解不等式f（x）+f（2+x）＜2．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）是定義域在R上的函數，f（2+x）=-f（2-x），f（x+2）=-
1f(x)
．
（1）函數f（x）是不是周期函數，若是，求出周期；
（2）判斷f（x）的奇偶性．

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同步練習冊答案
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