Question

8．已知直線l₁：x-y+5=0和l₂：x+4=0，拋物線C：y²=16x，P是C上一動點，則P到l₁與l₂距離之和的最小值為$\frac{{9\sqrt{2}}}{2}$..

Answer 1

分析 由拋物線方程求出其焦點坐標和準線方程，把拋物線y²=16x上的點P到兩直線l₁：x-y+5=0和l₂：x+4=0的距離之和的最小值轉化為焦點到l₁：x-y+5=0的距離，由點到直線的距離公式求解．

解答 解：由拋物線y²=16x，得其焦點F（4，0），準線方程為x=-4．
∴l₁：x=-4為拋物線的準線，
P到兩直線l₁：x-y+5=0和l₂：x+4=0的距離之和，
即為P到F和l₁：x-y+5=0的距離之和．
最小值為F到l₁：x-y+5=0的距離d=$\frac{9}{\sqrt{2}}$=$\frac{{9\sqrt{2}}}{2}$．
故答案為$\frac{{9\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了數形結合的解題思想方法和數學轉化思想方法，是中檔題．