Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F₂（c，0），若雙曲線上存在一點P，使

sin∠PF1F2

sin∠PF2F1

=

a

c

，求雙曲線的離心率的范圍．

Answer 1

分析：先根據正弦定理得

|PF1|

sin∠PF1F2

=

|PF1|

sin∠PF2F1

，又由已知，得

a

|PF2|

=

c

|PF1|

，最后根據P在雙曲線右支上，可得關于e的不等式，進而根據三角函數的范圍確定e的范圍．

解答：解：根據已知，點P不是雙曲線的頂點，否則

sin∠PF1F2

sin∠PF2F1

=

a

c

無意義．
因為在△PF₁F₂中，由正弦定理得

|PF1|

sin∠PF1F2

=

|PF2|

sin∠PF2F1

．
又由已知，得

a

|PF2|

=

c

|PF1|

，即|PF₁|=

c

a

|PF₂|，且P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，得
|PF₁|-|PF₂|=2a，則

c

a

|PF₂|-|PF₁|=2a，即|PF₂|=

2a2

c-a

，由雙曲線的幾何性質，知
|PF₂|＞c-a，則

2a2

c-a

＞c-a，即c²-2ac-a²＜0，∴e²-2e-1＜0，解得-

2

+1＜e＜

2

+1，
又e＞1，故雙曲線的離心率的范圍是（1，

2

+1）．

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質，考查了雙曲線的第二定義的靈活運用，屬于中檔題．