Question

【題目】已知橢圓，直線l不經過坐標原點O且不平行與坐標軸，l與相交于A，B兩點，線段的中點為M.

（1）證明：直線的斜率與直線l的斜率的乘積為定值；

（2）若直線l過點，延長線與交于點P，若四邊形是平行四邊形，求直線l的斜率；

Answer 1

【答案】(1) 直線的斜率與直線l的斜率的乘積為定值；(2)

【解析】

(1)設點,再代入橢圓方程,相減后即可求得的斜率與中點與的斜率.再化簡證明乘積為定值即可.

(2) 點,再根據四邊形是平行四邊形可得在橢圓上,進而求得的關系,再設直線的方程,聯立橢圓方程求代入關系化簡即可.

(1) 設且,則,①②,

①-②得：,,

.又,

故,,

故直線的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.

(2)由題,因為四邊形是平行四邊形,故,設則.又 ,且.

故,化簡得.

當直線斜率為0時, 四邊形不是平行四邊形.

故設直線的方程,則.

故,又 ..

故,故,.

故此時求直線l的斜率為