Question

定義在R上的函數f（x），f（0）≠0，當x＞0時，f（x）＞1，且對任意實數a，b，有f（a+b）=f（a）•f（b）．
（1）求證：f（0）=1；
（2）求證：對任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）若f（x-2）•f（2x-x²）＞1，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據f（a+b）=f（a）•f（b），令a=b=0，可求f（0）=1；
（2）當x＞0時，f（x）＞1，且由（1）知，當x=0時，f（0）=1＞0，所以欲證對任意的x∈R，恒有f（x）＞0，所以只需證明x＜0時，恒有f（x）＞0即可，再根據f（a+b）=f（a）•f（b），令a=x，b=-x，即可得f（x）與f（-x）同號，即可證得；
（3）根據f（a+b）=f（a）•f（b），把不等式f（x-2）•f（2x-x²）＞1化為f（-x²+3x-2）＞1，再借助函數的單調性解不等式即可．

解答：解：（1）∵f（a+b）=f（a）•f（b），
∴令a=b=0，則f（0）=[f（0）]²，
∵f（0）≠0，
∴f（0）=1；  
（2）∵f（a+b）=f（a）•f（b）對任意實數a，b均成立，
∴令a=x，b=-x，則有f（0）=f（x）•f（-x）=1，
∴f（x）=

1

f(-x)

，
∵x＞0時，f（x）＞1＞0，
∴當x＜0時，-x＞0，
∴f（-x）＞0，
∴f（x）=

1

f(-x)

＞0，
∵由（1）可知，當x=0時，f（0）=1＞0
∴對任意x∈R，f（x）＞0； 
（3）設x₁∈R，x₂∈R，且x₂＞x₁，
依題意可知，f（x₂）＞0，f（x₁）＞0，x₂-x₁＞0，
∵f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）•f（x₁），
∴

f(x2)

f(x1)

=f（x₂-x₁）＞1，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在R上是增函數，
∵f（a+b）=f（a）•f（b），
∴f（x-2）•f（2x-x²）=f[x-2+（2x-x²）]=f（-x²+3x-2），
又∵1=f（0）且f（x）在R上單調遞增，
∴由f（-x²+3x-2）＞f（0）可得，-x²+3x-2＞0，解得，1＜x＜2，
∴x的取值范圍為（1，2）．

點評：本題主要考查抽象函數及其應用、函數單調性的判斷與證明，考查了轉化分析與推理證明的能力．解本題的關鍵是靈活應用題目條件，尤其是（3）中“f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]”是證明單調性的關鍵，這里體現了解題中要向條件化歸的策略．屬于中檔題．