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已知f(x)=2sinx(cosx-sinx),其中x∈R
(1)求函數f(x)的最小正周期,并從下列的變換中選擇一組合適變換的序號,經過這組變換的排序,可以把函數y=sin2x的圖象變成y=f(x)的圖象;(要求變換的先后順序)
①縱坐標不變,橫坐標變為原來的倍,
②縱坐標不變,橫坐標變為原來的2倍,
③橫坐標不變,縱坐標變為原來的倍,
④橫坐標不變,縱坐標變為原來的倍,
⑤向上平移一個單位,⑥向下平移一個單位,
⑦向左平移個單位,⑧向右平移個單位,
⑨向左平移個單位,⑩向右平移個單位,
(2)在△ABC中角A,B,C對應邊分別為a,b,c,f(A)=0,b=4,S△ABC=6,求a的長.
【答案】分析:(1)根據二倍角的三角函數公式和輔助角公式,化簡得f(x)=sin(2x+)-1,由三角函數的周期公式可算出最小正周期為T=π,結合三角函數圖象變換的方法,可得y=sin2x的圖象按照⑨③⑥或③⑨⑥的順序變換,可得y=f(x)的圖象;
(2)由(1)的解析式,結合三角形內角的范圍解出A=,代入三角形面積公式算出c=3,最后利用余弦定理即可算出邊a的長.
解答:解:(1)f(x)=2sinx(cosx-sinx)=sin2x-2sin2x=sin2x+cos2x-1=sin(2x+)-1…(3分)
∴f(x)的最小正周期為T==π …(5分)
把y=sin2x的圖象向左平移,然后橫坐標不變、縱坐標變為原來倍,
再向下平移1個單位得到函數y=f(x)的圖象.按照⑨③⑥或③⑨⑥的順序變換即可…(8分)
(2)∵f(A)=0,即sin(2A+)=,且2A+∈(
∴2A+=,解之得A=…(10分)
S△ABC=bcsinA=×4×csin=6,解之得c=3…(10分)
根據余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=16+18-2×4×3cos=10
∴a=(舍負)…(14分).
點評:本題將三角函數式化簡,求函數的周期和圖象的變換,并依此解三角形ABC.著重考查了三角恒等變換、三角函數的圖象與性質和正余弦定理等知識,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知f(x)=2sinx(cosx-sinx),其中x∈R
(1)求函數f(x)的最小正周期,并從下列的變換中選擇一組合適變換的序號,經過這組變換的排序,可以把函數y=sin2x的圖象變成y=f(x)的圖象;(要求變換的先后順序)
①縱坐標不變,橫坐標變為原來的
1
2
倍,
②縱坐標不變,橫坐標變為原來的2倍,
③橫坐標不變,縱坐標變為原來的
2
倍,
④橫坐標不變,縱坐標變為原來的
2
2
倍,
⑤向上平移一個單位,⑥向下平移一個單位,
⑦向左平移
π
4
個單位,⑧向右平移
π
4
個單位,
⑨向左平移
π
8
個單位,⑩向右平移
π
8
個單位,
(2)在△ABC中角A,B,C對應邊分別為a,b,c,f(A)=0,b=4,S△ABC=6,求a的長.

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已知f(x)=2sinx+x3+1,(x∈R),若f(a)=3,則f(-a)的值為( )
A.-3
B.-2
C.-1
D.0

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