Question

【題目】若函數對定義域內的每一個值，在其定義域內都存在唯一的，使成立，則稱該函數為“依賴函數”.

（1）判斷函數是否為“依賴函數”，并說明理由；

（2）若函數在定義域（）上為“依賴函數”，求的取值范圍；

（3）已知函數在定義域上為“依賴函數”.若存在實數，使得對任意的，不等式恒成立，求實數的最大值.

Answer 1

【答案】（1）不是“依賴函數”，見解析；（2）（3）實數的最大值為.

【解析】

（1）利用時，不可能成立，判斷出不是“依賴函數”.

（2）結合指數型函數的單調性，利用“依賴函數”的定義，求得，由此將轉化為，然后結合二次函數的單調性，求得的取值范圍.

（3）根據與區間的位置關系進行分類討論，結合二次函數的性質以及“依賴函數”的定義，求得的值.由此化簡不等式為以為主變量的形式.利用判別式得到，結合存在性問題，由的最大值，求得的取值范圍，從而求得的最大值.

（1）對于函數的定義域內存在，

則，無解，故不是“依賴函數”.

（2）因為在遞增，故，即，

由，故，得，

從而在上單調遞增，故，

（3）①若，故在上最小值為0，此時不存在，舍去；

②若故在上單調遞減，

∴，解得（舍）或.

∴存在，使得對任意的，有不等式都成立，

即恒成立，由，

得，由，可得，

又在單調遞減，故當時，，

從而，解得，

綜上，故實數的最大值為.