Question

已知函數f（x）=-x²+|x|．
（1）用分段函數的形式表示該函數并畫出函數的圖象；   
（2）求函數的單調區間；
（3）求函數的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據絕對值的意義，分x≥0，x＜0兩種情況去掉絕對值，即可得到函數f（x）分段函數形式的解析式，進而根據二次函數的圖象和性質得到函數的圖象；
（2）根據從左到右圖象上升對應函數的單調遞增區間，下降對應函數的單調遞減區間，可得結論．
（3）函數的最大值，即圖象圖象上最高點的縱坐標，結合（1）中圖象及二次函數的圖象和性質，可得答案．

解答：解：（1）∵f（x）=-x²+|x|=

-x2-x，x＜0 -x2+x，x≥0

∴函數f（x）的圖象如下圖所示：

（2）由（1）中函數圖象可得：
函數f（x）的單調遞增區間為：（-∞，-

1

2

]和[0，

1

2

]，
函數f（x）的單調遞減區間為：[-

1

2

，0]和[

1

2

，+∞）．
（3）（2）由（1）中函數圖象可得：
函數f（x）的最大值為

1

4

．

點評：本題給出含有絕對值的二次形式的函數，求函數的單調性與值域．著重考查了二次函數的圖象與性質、函數圖象的作法與函數的奇偶性等知識，屬于中檔題．