Question

20．已知拋物線x²=2py（p＞0）的焦點F是橢圓$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的一個焦點，若P，Q是橢圓與拋物線的公共點，且直線PQ經過焦點F，則該橢圓的離心率為$\sqrt{2}-1$．

Answer 1

分析 由題意，p=2c，P（$\sqrt{2pc}$，c），即P（2c，c），代入橢圓方程，可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{c}^{2}}{{b}^{2}}$=1，由此即可求出橢圓的離心率．

解答 解：由題意，p=2c，P（$\sqrt{2pc}$，c），即P（2c，c）
代入橢圓方程，可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{c}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
整理可得e⁴-6e²+1=0，
∵0＜e＜1，∴e=$\sqrt{2}-1$．
故答案為$\sqrt{2}-1$．

點評 本題考查拋物線與橢圓的綜合，考查橢圓的離心率，考查學生的計算能力，屬于中檔題．