Question

（1）已知關于x的方程3tx²+（3-7t）x+4=0的兩個實根α，β滿足0＜α＜1＜β＜2，求實數t的取值范圍；
（2）解方程lg（x+1）-lg（1-x）=-lgx．

Answer 1

考點：對數的運算性質,根的存在性及根的個數判斷

專題：函數的性質及應用

分析：（1）設f（x）=3tx²+（3-7t）x+4=0，則f（0）=4＞0．g根據方程的兩個實根α，β滿足0＜α＜1＜β＜2，可得

f(1)＜0 f(2)＞0

，解出即可．
（2）利用對數的運算性質及其單調性即可得出．

解答： 解：（1）設f（x）=3tx²+（3-7t）x+4=0，則f（0）=4＞0．
∵方程的兩個實根α，β滿足0＜α＜1＜β＜2，
∴

f(1)＜0 f(2)＞0

，即

-4t+7＜0 10-2t＞0

，解得

7

4

＜t＜5．
∴實數t的取值范圍為(

7

4

，5)．
（2）∵lg（x+1）-lg（1-x）=-lgx．
∴x（x+1）=1-x，即x²+2x-1=0，
解之得x=-1+

2

或x=-1-

2

．
經過驗證：只有x=-1+

2

滿足，
∴方程的解為x=-1+

2

．

點評：本題考查了二次函數的性質、函數的零點、對數的運算性質及其單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．