Question

函數f（x）滿足：f（3x+y）=3f（x）+f（y）對任意的x，y∈R均成立，且當x＞0時，f（x）＜0．
（I）求證：f（4x）=4f（x），f（3x）=3f（x）；
（II）判斷函數f（x）在（-∞，+∞）上的單調性并證明；
（III）若f（8）=-2，解不等式：．

Answer 1

解：（I）證明：令y=x，則f（4x）=4f（x）
令x=y=0，則f（0）=0
令y=0，則f（3x）=3f（x）
（II）解：f（x）在（-∞，+∞）上是減函數，以下證明：
任設x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＞x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=f（×3+x₂）-f（x₂）=3f（）
∵x₁-x₂＞0
∴f（）＜0
即f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是減函數
（III）解：∵f（8）=-2
∴4f（2）=2，∴f（2）=-
12f（log₂）=3f（4log₂）=3f（log₂x）
∴=
==f（log₂[x（x-2）]）
∴?f（log₂[x（x-2）]）＜f（2）
???
∴不等式的解集為
分析：（I）使用賦值法，先令y=x，得f（4x）=4f（x），再令x=y=0，得f（0）=0，最后令y=0，得f（3x）=3f（x）
（II）利用函數單調性的定義以及已知抽象表達式，x＞0時，f（x）＜0．即可證明f（x）在（-∞，+∞）上是減函數
（III）先利用抽象表達式得f（2）=-，再利用對數運算性質及函數的單調性，將不等式轉化為對數不等式組，解之即可
點評：本題綜合考查了抽象表達式的意義和作用，函數單調性的定義及證明，利用函數的單調性解不等式的技巧