Question

（2008•臨沂二模）在R上的可導函數f（x）滿足：f（0）=0，xf'（x）＞0，則
①f（-2）＜f（-1）；
②f（x）不可能是奇函數；
③函數y=xf（x）在R上為增函數；
④存在區間[a，b]，對任意x₁，x₂∈[a，b]，都有f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

成立．
其中正確命題的序號為（將所有正確命題的序號都填上）

②③④

．

Answer 1

分析：利用函數的導數確定函數的單調性．然后分別利用函數的性質進行判斷．

解答：解：當x＞0時，f'（x）＞0，此時函數單調遞增．
當x＜0時，f'（x）＜0，此時函數單調遞減．
所以f（-2）＞f（-1）所以①錯誤．
因為奇函數在對稱區間上的單調性相同，所以f（x）不可能是奇函數，所以②錯誤．
當x＞0時，函數f（x）單調遞增，y=x也單調遞增，所以y=xf（x）也單調遞增，
當x＜0時，此時f（x）函數單調遞減，y=x單調遞增且x＜0，所以y=xf（x）也單調遞增，
因為f（0）=0，所以當x=0時xf（x）=0，所以函數y=xf（x）在R上為增函數，所以③正確．
滿足對任意x₁，x₂∈[a，b]，都有f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

成立的函數為凹函數，
所以當f（x）=x²滿足條件，所以④正確．
故答案為：②③④．

點評：本題主要考查函數性質的綜合考查，綜合性強．