Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓：的焦距為2，且過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設橢圓的上頂點為，右焦點為，直線與橢圓交于，兩點，問是否存在直線，使得為的垂心，若存在，求出直線的方程：若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

（1）把點的坐標代入橢圓方程，利用橢圓中的關系和已知，可以求出橢圓方程；

（2）設直線的方程，與橢圓方程聯立，根據一元二次方程根與系數關系，結合已知和斜率公式，可以求出直線的方程.

解：（1）由已知可得：解得，，，

所以橢圓：.

（2）由已知可得，，，∴，∵，

設直線的方程為：，代入橢圓方程整理得

，設，，

則，，

∵，∴.

即，

因為，，

即.

.

所以，或.

又時，直線過點，不合要求，所以.

故存在直線：滿足題設條件.