Question

已知函數f（x）=．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期、對稱軸方程及單調區間；
（Ⅱ）現保持縱坐標不變，把f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的4倍，得到新的函數h（x）；
（ⅰ）求h（x）的解析式；
（ⅱ）△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足，h（A）=，c=2，試求△ABC的面積．

Answer 1

解：（I）∵f（x）==sin2x-=sin2xcos+cos2xsin-，
∴f（x）=sin（2x+）-，f（x）的最小正周期為T==π．
令2x+=+kπ，得x=+kπ，k∈Z，所以函數圖象的對稱軸方程為：x=+kπ，（k∈Z）
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，解之得-+kπ≤x≤+kπ，所以函數的單調增區間為[-，+kπ]，（k∈Z）
同理可得，函數的單調減區間為[+kπ，+kπ]，（k∈Z）
（II）∵保持縱坐標不變，把f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的4倍，得到新的函數h（x）
∴h（x）=f（x）=sin（x+）-，
（i）h（x）的解析式為h（x）=sin（x+）-；
（ii）∵h（A）=sin（A+）-=，
∴sin（A+）=，結合A∈（0，π）得A=
∵=
∴sinAcosA=sinBcosB，可得sin2A=sin2B，即A=B或A+B=
①當A=B時，因為c=2，A=，所以△ABC是邊長為2的等邊三角形，
因此，△ABC的面積S=×2²=．
②當A+B=時，因為c=2，A=，所以△ABC是斜邊為2的直角三角形
∴a=csinA=2×=，b=ccosA=2×=1
因此，△ABC的面積S=××1=．
綜上所述，得△ABC的面積是或．
分析：（I）利用二倍角的三角函數公式降次，再用輔助角公式合并得f（x）=sin（2x+）-，再結合函數y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質的有關公式，可得f（x）的最小正周期、對稱軸方程及單調區間；
（II）（i）根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的公式，不難得到h（x）的解析式為h（x）=sin（x+）-；
（ii）根據h（A）的值結合三角形內角的范圍和特殊三角函數的值，求得A=，再由結合正弦定理，討論得三角形是等腰三角形或是直角三角形，最后在兩種情況下分別解此三角形，再結合面積公式可求出△ABC的面積．
點評：本題綜合了三角恒變換、函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換、利用正余弦定理解三角形等知識，對三角函數的知識進行了綜合考查，是一道中檔題．