Question

已知動點P（x，y）到原點的距離的平方與它到直線l：x=m（m是常數）的距離相等．
（1）求動點P的軌跡方程C；
（2）就m的不同取值討論方程C的圖形．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出動點坐標，直接利用條件寫出方程，并化簡．
（2）將軌跡方程變形化簡，得到 （x+）²+y²=+m   或（x-）²+y²=-m，討論4+m 與 4-m 的值的符號，分同為正數、一個正數一個是0時方程各表示的曲線類型．
解答：解：（1）因為原點為O（0，0），所以動點P（x，y）到原點的距離為|PO|=，
于是動點P的坐標滿足（）²=|m-x|，
∴x²+y²=|m-x|，此即為動點P的軌跡方程．
（2）由x²+y²=|m-x|，兩邊平方，移項因式分解，
得  （x²+y²-m+x）（x²+y²+m-x）=0，
∴（x+）²+y²=+m   或（x-）²+y²=-m．

①當+m＞0且-m＞0，即＜m＜時，點P的軌跡是兩個圓．
一個圓的圓心是（，0），半徑為；    另一個圓的圓心是（，0），半徑為．
②當m=或m=時，點P的軌跡是一個圓和一個點．
③當m＜或m＞時，點P的軌跡是一個圓．
點評：本題考查軌跡方程的求法，體現分類討論的數學思想．