Question

已知函數f（x）=2ae^x（a＞0，e為自然對數的底數）的圖象與直線x=0的交點為M，函數g（x）=ln

x

a

（a＞0）的圖象與直線y=0的交點為N，|MN|恰好是點M到函數g（x）=ln

x

a

（a＞0）圖象上的最小值，則實數a的值是

 

．

Answer 1

考點：指數函數綜合題

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：由題意知M（0，2a），N（a，0）；由|MN|恰好是點M到函數g（x）=ln

x

a

（a＞0）圖象上的最小值得k_MN×g′（a）=-1，從而解得．

解答： 解：由題意，f（0）=2a•e⁰=2a；
故M（0，2a）；
g（x）=ln

x

a

=0解得，
x=a；
故N（a，0）；
由g′（x）=

a

x

•

1

a

=

1

x

；
k_MN=

2a-0

0-a

=-2，g′（a）=

1

a

；
則由|MN|恰好是點M到函數g（x）=ln

x

a

（a＞0）圖象上的最小值知，
k_MN×g′（a）=-1，
即-2×

1

a

=-1；
解得，a=2．
故答案為：2．

點評：本題考查了導數的綜合應用及導數的幾何意義，屬于基礎題．