Question

【題目】已知函數(shù).

(1)討論的單調(diào)性;

(2)用表示中的最大值，若函數(shù)只有一個零點,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，.

(2)

【解析】

(1)先求函數(shù)的導函數(shù)，再討論時, 時,函數(shù)的單調(diào)性即可；

(2)分別討論函數(shù)在當，當時，當時,函數(shù)零點個數(shù)，然后結(jié)合函數(shù)在的零點個數(shù)即可得解.

解:(1)函數(shù)的定義域為,且.

當時,對恒成立,所以在上單調(diào)遞增.

當時,令,得,

當時,;當時,.

所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，.

(2)①當時, ,從而,所以在上無零點，

②當時, ,

若,所以是的零點;

若,所以不是的零點.

③當時, ,所以在上的零點個數(shù)只需要考慮在上的零點個數(shù).

在上的零點個數(shù)在上實根的個數(shù)在上實根的個數(shù).

令函數(shù),則,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增；又，，，

當或時，在上無零點;當或時, 在上有唯一零點， 時, 在上有兩個零點，

綜上可得：當時，在上有無零點, 當時，在上有1個零點, 當時，在上有2個零點, 當時，在上有1個零點,

則在上有唯一零點, 的取值范圍為.