Question

已知橢圓C：與雙曲線-y²=1有公共焦點，且離心率為．A，B分別是橢圓C的左頂點和右頂點．點S是橢圓C上位于x軸上方的動點．直線AS，BS分別與直線l：x=分別交于M，N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）延長MB交橢圓C于點P，若PS⊥AM，試證明MS²=MB•MP．
（3）當(dāng)線段MN的長度最小時，在橢圓C上是否存在點T，使得△TSB的面積為？若存在確定點T的個數(shù)，若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）解：∵橢圓C：與雙曲線-y²=1有公共焦點
∴橢圓C的焦點為，
∴，
又∵，
∴a=2，b=1，
∴橢圓的方程為．…（3分）
（2）證明：直線AS的斜率k顯然存在，且k＞0，故可設(shè)直線AS的方程為y=k（x+2），從而
由得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
設(shè)S（x₁，y₁），則得，從而 …（5分）
即
又B（2，0），從而，
∴，
∴，
又因為PS⊥AM，由射影定理可得MS²=MB•MP．…（7分）
（3）解：由得
∴
又k＞0，∴
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立
∴時，線段MN的長度取最小值
此時BS的方程為，∴ …（9分）
要使橢圓C上存在點T，使得△TSB的面積等于，只須T到直線BS的距離等于，
所以T在平行于BS且與BS距離等于的直線l'上．
設(shè)直線l'：x+y+t=0，則由，解得或．
當(dāng)時，由，得5x²-12x+5=0
由于△=44＞0，故直線l'與橢圓C有兩個不同的交點；
當(dāng)時，由得5x²-20x+21=0，
由于△=-20＜0，故直線l'與橢圓沒有交點．
綜上所述，當(dāng)線段MN的長度最小時，在橢圓C上僅存在兩個不同的點T，使得△TSB的面積為．…（12分）
分析：（1）根據(jù)橢圓與雙曲線有公共焦點，可確定橢圓的焦點，利用橢圓的離心率，即可求出橢圓的方程；
（2）引入直線AS的斜率k，用點斜式寫出直線AS的方程，與l的方程聯(lián)立求出點M的坐標，與橢圓方程聯(lián)立，求得點S的坐標，又點B的坐標已知，從而可得，利用PS⊥AM，由射影定理可得MS²=MB•MP．
（3）線段MN的長度可以表示成直線AS的斜率k的函數(shù)，根據(jù)其形式利用基本不等式法求最值，從而求出直線SB的方程要使橢圓C上存在點T，使得△TSB的面積等于，只須T到直線BS的距離等于，由此問題轉(zhuǎn)化為研究與直線SB平行且距離為的直線與橢圓的交點個數(shù)問題．
點評：本題的考點是直線與圓錐曲線的綜合問題，要求答題者擁有較高的探究轉(zhuǎn)化能力以及對直線與圓錐曲線位置關(guān)系中特征有較好的理解，正確理解題意，合理轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．