Question

【題目】已知冪函數f（x）=（m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣3在（0，+∞）上是增函數，又g（x）=loga （a＞1）．
（1）求函數g（x）的解析式；
（2）當x∈（t，a）時，g（x）的值域為（1，+∞），試求a與t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是冪函數，且在（0，+∞）上是增函數，

∴ 解得m=﹣1，

∴

（2）解：由 ＞0可解得x＜﹣1，或x＞1，

∴g（x）的定義域是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．

又a＞1，x∈（t，a），可得t≥1，

設x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，于是x2﹣x1＞0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，

∴ ＞0，

∴ ．

由 a＞1，有 ，即g（x）在（1，+∞）上是減函數．

又g（x）的值域是（1，+∞），

∴ 得 ，可化為 ，

解得 ，

∵a＞1，∴ ，

綜上，

【解析】（1）利用冪函數的單調性以及性質，列出關系式，求出m，即可求解函數g（x）的解析式；（2）求出g（x）的定義域．結合a＞1，x∈（t，a），可得t≥1，設x1 ， x2∈（1，+∞），判斷g（x）在（1，+∞）上是減函數，通過g（x）的值域列出方程 ，即可求解a的值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的最值及其幾何意義(利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（�。┲�；利用圖象求函數的最大（�。┲�；利用函數單調性的判斷函數的最大（�。┲�)．