Question

函數(shù)f（x）定義域為[0，+∞），當x≥0時可導，又x≥0時，不等式f（x）+f′（x）＞0恒成立，且滿足f（0）=1，則不等式f（x）＞e^-x的解集為

（0，+∞）

．

Answer 1

分析：構造函數(shù)h（x）=f（x）•e^x，利用導數(shù)法分析函數(shù)的單調性，進而求出h（x）＞h（0）=1在（0，+∞）恒成立，即不等式的解集．

解答：解：令h（x）=f（x）•e^x
則h′（x）=[f（x）+f′（x）]•e^x
∵x≥0時，不等式f（x）+f'（x）＞0恒成立，
∴h′（x）＞0在[0，+∞）上恒成立
∴h（x）在[0，+∞）上單調遞增
∴h（x）≥h（0）=1恒成立
即f（x）≥e^-x恒成立
當且僅當x=0時取等
故不等式f（x）＞e^-x的解集為（0，+∞）
故答案為：（0，+∞）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，導數(shù)的運算，其中構造函數(shù)h（x）=f（x）•e^x，利用其單調性解答不等式是解答的關鍵．