【題目】在平面直角坐標系
中，點
，圓
，點
是圓上一動點，線段
的中垂線與線段
交于點
.
（1）求動點
的軌跡
的方程；
（2）若直線
與曲線
相交于
兩點，且存在點
（其中
不共線），使得
被
軸平分，證明：直線
過定點.
【答案】（1）
；（2）
【解析】試題分析：（1）根據(jù)中垂線性質(zhì)得
，即得
，再根據(jù)橢圓定義確定軌跡方程，（2）因為
被
軸平分，所以
，設坐標代入表示得
，設直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理代入化簡，最后根據(jù)方程恒成立條件得直線
過定點.
試題解析：（1）由已知
， 
，圓
的半徑為
依題意有： 
， 
故點P的軌跡是以
為焦點，長軸長為4的橢圓，即
故點P的軌跡E的方程為
（2）令
，因A，B，D不共線，故
的斜率不為0，可令
的方程為： 
，則由
得
則
①
被
軸平分， 
即
，亦即
②
而
代入②得：
③
①代入③得： 
時得： 
此時
的方程為： 
過定點（1，0）
時 ， 
亦滿足，此時
的方程為： 
綜上所述，直線
恒過定點（1，0）
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（Ⅰ）若曲線
與曲線
在它們的某個交點處具有公共切線,求
的值;
（Ⅱ）若存在實數(shù)
使不等式
的解集為
,求實數(shù)
的取值范圍
（Ⅲ）若方程
有三個不同的解
,且它們可以構成等差數(shù)列,寫出實數(shù)
的值（只需寫出結果）.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】平面中兩條直線l和n相交于O，對于平面上任意一點M，若p，q分別是M到直線l和n的距離，則稱有序非負實數(shù)對（p，q）是點M的“距離坐標”.則下列說法正確的（ ）
A.若p=q=0，則“距離坐標”為（0，0）的點有且僅有一個
B.若pq=0，且p+q≠0，則“距離坐標”為（p，q）的點有且僅有2個
C.若pq≠0，則“距離坐標”為（p，q）的點有且僅有4個
D.若p=q，則點M的軌跡是一條過O點的直線
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】我們稱一個非負整數(shù)集合
（非空）為好集合,若對任意
,或者
,或者
.以下記
為
的元素個數(shù).
（Ⅰ）給出所有的元素均小于
的好集合;（給出結論即可）
（Ⅱ）求出所有滿足
的好集合;（同時說明理由）
（Ⅲ）若好集合
滿足
,求證: 
中存在元素
,使得
中所有元素均為
的整數(shù)倍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知曲線
的參數(shù)方程為
，其中
為參數(shù)，且
在直角坐標系
中，以坐標原點
為極點，以
軸正半軸為極軸建立極坐標系.
（1）求曲線
的極坐標方程；
（2）設
是曲線
上的一點，直線
被曲線
截得的弦長為
，求
點的極坐標.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】對于函數(shù)
與常數(shù)
,若
恒成立,則稱
為函數(shù)
的一個“
數(shù)對”;設函數(shù)
的定義域為
,且
.
（Ⅰ）若
是
的一個“
數(shù)對”,且
,求常數(shù)
的值;
（Ⅱ）若
是
的一個“
數(shù)對”,求
;
（Ⅲ）若
是
的一個“
數(shù)對”,且當
, 
,求
的值及
在區(qū)間
上的最大值與最小值.
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