Question

某種海洋生物身體的長度（單位：米）與生長年限t（單位：年）
滿足如下的函數關系：.（設該生物出生時t=0）
（1）需經過多少時間，該生物的身長超過8米；
（2）設出生后第年，該生物長得最快，求的值.

Answer 1

（1）6年；（2）4或5．

解析試題分析：（1）求需經過多少時間，該生物的身長超過8米，實質就是解不等式，不等式解集中的最小值就是本題結論；（2）首先要搞懂什么是“長得最快”，“長得最快”就是說明這一年該生物身體增長的長度最大，因此實質就是求的最大值，即就是這個最大值，下面我們只要求出，分析它的最大值是在為何值時取得，
，此式較繁，因此我們用換元法，設，由有
，它的最大值求法一般是分子分母同時除以，然后用基本不等式及不等式的性質得到結論．
試題解析：（1）設，即，解得，
即該生物6年后身長可超過8米；              5分
（2）設第年生長最快，于是有
，    8分
令，則，
令，    11分
等號當且僅當即，，時成立，因為，因此可能值為4或5，由知，所求有年份為第4年和第5年，兩年內各生長了米．   14分
考點：（1）解不等式；（2）換元法與函數的最值．