Question

已知不等式xy≤ax²+2y²對于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：本題考查的是不等式與恒成立的綜合類問題．在解答時，首先可以游離參數將問題轉化為：a≥

y

x

-2(

y

x

)2對于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，然后解答此恒成立問題即可獲得問題的解答．

解答：解：由題意可知：不等式xy≤ax²+2y²對于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，
即：a≥

y

x

-2(

y

x

)2，對于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，
令t=

y

x

，則1≤t≤3，
∴a≥t-2t²在[1，3]上恒成立，
∵y=-2t2+t=-2(t-

1

4

)2+

1

8

∴y_max=-1，
∴a≥-1
 故答案為：[-1，+∞）．

點評：本題考查的是不等式與恒成立的綜合類問題．在解答的過程當中充分體現了游離參數的辦法、恒成立的思想以及整體代換的技巧．值得同學們體會與反思．