Question

【題目】設函數（）．

（Ⅰ）若在處取得極值，求的值；

（Ⅱ）若在上為減函數，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）對函數求導，根據極值點的定義得到f′(0)＝0，即a＝0，之后檢驗當a=0時，x=0是否為導函數的變號零點；（2）根由f（x）在[3，+∞）上為減函數，可得f′（x）≤0，可得a≥，在[3，+∞）上恒成立，令u（x）=，利用導數研究其最大值即可．

（I）f′（x）==，

∵f（x）在x=0處取得極值，∴f′（0）=0，解得a=0．

當a=0時，f（x）=，f′（x）=，x=0是導函數的變號零點，故滿足題意.

（II）由f（x）在[3，+∞）上為減函數，∴f′（x）≤0，

可得a≥，在[3，+∞）上恒成立．

令u（x）=，u′（x）=＜0，

∴u（x）在[3，+∞）上單調遞減，

∴a≥u（3）=﹣．

因此a的取值范圍為：．