Question

如圖所示，四棱錐的底面是邊長為1的菱形，，

E是CD的中點，PA底面ABCD，。

（I）證明：平面PBE平面PAB；

（II）求二面角A—BE—P和的大小。

 

Answer 1

【答案】

（I）同解析（II）二面角的大小為

【解析】解：解法一（I）如圖所示, 連結由是菱形且知，

是等邊三角形. 因為E是CD的中點，所以

又所以

              又因為PA平面ABCD，平面ABCD，

所以而因此 平面PAB.

又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.

（II）由（I）知，平面PAB, 平面PAB, 所以

又所以是二面角的平面角．

在中, ．

故二面角的大小為

解法二：如圖所示,以A為原點，建立空間直角坐標系．則相關各點的坐標分別是

（I）因為平面PAB的一個法向量是所以和共線.

從而平面PAB. 又因為平面PBE，所以平面PBE平面PAB.

（II）易知設是平面PBE的一個法向量,

則由得 所以

故可取而平面ABE的一個法向量是

于是,．

故二面角的大小為