Question

如圖所示，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為１的正方形，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)。

（１）求證；

（２）求異面直線與所成的角的大小；

（３）求面與面所成二面角的大小。

                                                         （第18題圖）

Answer 1

見解析

解析:

解法一：

（1）因?yàn)?img width=101 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/143/67943.gif">，所以SC在底面的射影是CD

又因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以，所以…………4分

（2）取AB的中點(diǎn)P，連結(jié)MP，DP

在中，由中位線得 MP//SB ，所以

是異面直線DM與SB所成的角或其補(bǔ)角，

因?yàn)?，又，

所以，因此

所以異面直線DM與SB所成的角為…………9分

（3）因?yàn)?img width=101 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/143/67943.gif">，底面ABCD是正方形，

所以可以把四棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，

面與面所成二面角就是面與面所成二面角

因?yàn)?img width=65 height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/145/67945.gif">，，所以

又，所以為所求的二面角的平面角

在中，由勾股定理得，在，得

所以，即面與面所成二面角為。. …………14分

解法二：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)锳BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且，

所以，，則 ，，

，，

因?yàn)?img width=93 height=27 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/184/67984.gif">，，則

所以，即…………4分

（2）設(shè)所求的異面直線所成的角為，因?yàn)?img width=105 height=45 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/190/67990.gif">

所以

故異面直線DM與SB所成的角為…………9分

（3）設(shè)所求二面角的平面角為，由題意可以面ASD的一個(gè)法向量為，設(shè)面BSC的一個(gè)法向量為，則

所以

而與所成的角就是所求的二面角的平面角或其補(bǔ)角，所以

所以面與面所成二面角為。…………14分