Question

13．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=|$\overrightarrow{OD}$|=1，$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow 0$，A（1，1），則$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{OB}$的取值范圍為[-$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由三角形的外心和重心的概念，可得O既是外心也為重心，則有△BCD為圓O：x²+y²=1的內接等邊三角形，又$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{OB}$=（$\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}$）•$\overrightarrow{OB}$，由向量的數量積的定義和余弦函數的值域，即可得到所求范圍．

解答 解：由|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=|$\overrightarrow{OD}$|=1，可知O為外心，
又$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow 0$，可知O又為重心．
則有△BCD為圓O：x²+y²=1的內接等邊三角形，
即有$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{OB}$=（$\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}$）•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OD}$|•|$\overrightarrow{OB}$|cos120°-|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$＞
=-$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$＞，由于0≤＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞≤π，
則-1≤cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞≤1，
即有$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{OB}$∈[-$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$]．
故答案為：[-$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$]．

點評 本題考查向量的數量積的定義，主要考查余弦函數的值域，運用三角形的外心和重心的定義和向量的三角形法則是解題的關鍵，是中檔題．