Question

P是平面ABCD外的點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形，=（2，-1，-4），=（4，2，0），=（-1，2，-1）．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）對(duì)于向量=（x₁，y₁z₁），，定義一種運(yùn)算：，試計(jì)算的絕對(duì)值；說明其與幾何體P-ABCD的體積關(guān)系，并由此猜想向量這種運(yùn)算的絕對(duì)值的幾何意義．

Answer 1

解：（1），∴，即AP⊥AB．，即PA⊥AD．
∴PA⊥面ABCD．
（2），又，
V=
猜測：在幾何上可表示以AB，AD，AP為棱的平行六面體的體積（或以AB，AD，AP為棱的四棱柱的體積）．
分析：（1）證明與平面ABCD內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量垂直，即證明與此平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量的數(shù)量積等于0．
（2）根據(jù)體題中定義的運(yùn)算法則，化簡 的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)此值正好等于以AB，AD，AP為棱的平行六面體的體積．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和平面垂直的方法，以及利用題中的新定義的運(yùn)算法則計(jì)算的結(jié)果，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．