Question

P是平面ABCD外的點，四邊形ABCD是平行四邊形，

AB

=（2，-1，-4），

AD

=（4，2，0），

AP

=（-1，2，-1）．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）對于向量

a

=（x₁，y₁z₁），

b

=(x2y2z2)，

c

=(x3y3z3)，定義一種運算：(

a

×

b

)•

c

=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2z3-x3y2z1，試計算(

AB

×

AD

)-

AP

的絕對值；說明其與幾何體P-ABCD的體積關系，并由此猜想向量這種運算(

AB

×

AD

)-

AP

的絕對值的幾何意義．

Answer 1

分析：（1）證明

AP

與平面ABCD內的兩個不共線的向量垂直，即證明

AP

與此平面內的兩個不共線的向量的數(shù)量積等于0．
（2）根據(jù)體題中定義的運算法則，化簡 |(

AB

×

AD

)•

AP

| 的結果，發(fā)現(xiàn)此值正好等于以AB，AD，AP為棱的平行六面體的體積．

解答：解：（1）

AP

•

AB

=(2，-1，-4)•(-1，2，-1)=-2+(-2)+4=0，∴

AP

⊥

AB

，即AP⊥AB．

AP

•

AD

=(-1，2，-1)•(4，2，0)=-4+4+0=0，即PA⊥AD．
∴PA⊥面ABCD．
（2）|(

AB

×

AD

)•

AP

|=48，又cos?

AB

•

AD

＞=

3

105

，
V=

1

3

|

AB

|•|

AD

|•sin?

AB

•

AD

＞•|

AP

|=16
猜測：|(

AB

×

AD

)•

AP

|在幾何上可表示以AB，AD，AP為棱的平行六面體的體積（或以AB，AD，AP為棱的四棱柱的體積）．

點評：本題考查直線和平面垂直的方法，以及利用題中的新定義的運算法則計算|(

AB

×

AD

)•

AP

|的結果，體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于中檔題．