Question

已知B₁，B₂為橢圓C₁：短軸的兩個端點，F為橢圓的一個焦點，△B₁FB₂為正三角形，
（I）求橢圓C₁的方程；
（II）設點P在拋物線C₂：y=上，C₂在點P處的切線與橢圓C₁交于A、C兩點，若點P是線段AC的中點，求AC的直線方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）先設F（c，0），根據△B₁FB₂為正三角形求出c值，再根據a²=c²+b²求出a，從而寫出橢圓C₁的方程；
（II）設A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），P（x，y），利用導數幾何意義求出直線AC的斜率，利用A，C在橢圓上，將點的坐標代入橢圓方程后作差表示出直線AC的斜率從而解得x=0或x=±最后得出點P的坐標及直線AC的方程．
解答：解：（I）∵B₁（0，-1），B₂（0，1），設F（c，0）
∵△B₁FB₂為正三角形
∴c= …（2分）
∴a²=c²+b²=4
∴橢圓C₁的方程是…（4分）
（II）設A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），P（x，y）
∵函數y=的導數為y′=
∴直線AC的斜率 K_AC=…（6分）
∵A，C在橢圓上，
∴  （1）-（2）得：
=0…（9分）
∴直線AC的斜率k_AC=
又∵得
x（x²-2）=0，
解得：x=0或x=±  …（13分）
當x=0時，P點坐標為（0，-1），直線AC與橢圓相切，舍去；
當x=± 時，點P的坐標為（±，-），顯然在橢圓內部，
所以直線AC的方程是：y=±x- …（15分）
點評：本小題主要考查橢圓的標準方程、圓錐曲線的綜合、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．